SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 4.

Transformaciones Lineales Biyectivas

Ejercicio 3. Sean $T:V\rightarrow W$ , $S:W\rightarrow U$ transformaciones lineales, donde y son espacios de dimensión finita $n\geq 1$ . Demuestre que:

(a) y .

(b) .

(d) Si y es biyectiva, entonces . Si es biyectiva, entonces .

Solución. (a) Para la primera parte basta tener en cuenta que $(ST\,)$ $\subseteq \,Im(S)$ . Para la segunda, nótese que resulta entonces que y por el Teorema1, y entonces es decir, .

(b) Si se prueba que , entonces

Para probar lo requerido recuérdese que . Sea $q=\dim N(T\,)$ y sea una base de $N(T\,)$ . Sea $q+p=\dim N(ST\,)$ , $p\geq 0$ . Podemos completar la base anterior hasta una base de $N(ST\,)$ : . Nótese que los vectores son L I y pertenecen al núcleo de , por lo tanto, $p\leq \dim N(S)$ y se tiene que .