SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 3.

DiagonalizaciÓn en Bloques

Corolario 3. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 2.$ Supóngase que es diagonalizable en bloques y sea una descomposición de en suma de $2\leq r\leq n$ subespacios invariantes no triviales. Sea $T_{i}$ la restricción de a Entonces

b) $p_{T}(x)$ $p_{T_{r}}(x).$

c) $q_{T}(x)$ m.c.m{ , $q_{T_{r}}(x)$ }

Estas relaciones se tienen también para matrices diagonales en bloques de la forma (1) definida arriba.

Demostración. Teniendo en cuenta que el determinante, el polinomio característico y el polinomio mínimo de una transformación lineal coinciden con los de su matriz en cualquier base, entonces basta probar las tres afirmaciones del corolario en el caso matricial. Además, según el Ejercicio 3 de la Lección 3 del Capítulo 4 , el determinante de una matriz diagonal en bloques es el producto de los determinantes de sus bloques, luego las partes a) y b) ya están probadas.

Resta demostrar la parte c). Sea MATH y $q_{A}(x)$ el polinomio mínimo de . Hagamos m.c.m{}. Existen polinomios , tales que . Se debe entonces demostrar que $q_{A}(x)=m(x)$ . Teniendo en cuenta que tanto $q_{A}(x)$ como son mónicos, entonces basta demostrar que $q_{A}(x)\,|\,m(x)$ y $m(x)\,|\,q_{A}(x)$ . Sea , entonces