SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 7.

Forma CanÓnica de Jordan

Ejemplo 2. En este ejemplo mostramos una matriz invertible tal que $C^{-1}AC$ es una matriz de Jordan, donde

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Solución. Determinemos en primer lugar el polinomio característico y el polinomio mínimo de $A:p_{A}$ $(x)=(x+2)(x-3)^{3}$ , . De acuerdo a la prueba del Teorema 8, el número de bloques de Jordan es , uno corespondiente al valor propio y otro correspondiente al valor propio . El número de bloques elementales de Jordan correspondiente a viene dado por $\dim (E(-2))$ y el número correspondiente a es $\dim (E(3)).$ Pero y , luego $\dim (E(-2))=1$ y $\dim (E(3))=2.$ Para el valor propio se tiene que el tamaño del primer bloque elemental de Jordan viene dado por la multiplicidad de en el polinomio mínimo, que en este caso es . Ya podemos entonces mostrar la forma de Jordan de la matriz :

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Queremos ahora calcular la matriz . Para esto consideramos a la matriz como una transformación lineal de $\QTR{Bbb}{R}^{4}$ en la base canónica. De acuerdo a la prueba del Teorema 8 se tiene que , donde y ; debemos encontrar bases $X_{1}$ en $W_{1}$ y $X_{2}$ en $W_{2}$ de tal forma que es la matriz de cambio de la base canónica de $\QTR{Bbb}{R}^{4}$ a la base $X=X_{1}\cup X_{2}.$ Consideremos las transformaciones y Nótese que $N_{1}$ es nilpotente de índice y $N_{2}$ es nilpotente de índice 2. Según la prueba de la Proposición 13 debemos descomponer $W_{1}$ y $W_{2}$ en suma directa de subespacios cíclicos. Como , entonces la descomposición de $W_{1}$ es trivial: $W_{1}=[v_{1}]$ con $v_{1}=(0,0,-1,1),$ y en consecuencia, Para $W_{2}$ se tiene que: existe un vector $v_{2}\in W_{2}$ tal que su polinomio anulador es $x^{2}$ y es una base de $[v_{2}],$ también debe tenerse un vector $v_{3}\in W_{2}$ tal que su polinomio anulador divide a $x^{2}$ y Nótese que en calidad de $v_{2}$ podemos tomar a de tal forma que ; puesto que $\dim [v_{3}]=1$ , entonces el polinomio anulador de $v_{3}$ es y en consecuencia $v_{3}$ pertenece al núcleo de $N_{2}$ , luego $v_{3}\in E(3)$ . Tomando se tiene que es una base de $W_{2}.$ La matriz es entonces

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$C^{-1}=$ MATH

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