SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 7.

Forma CanÓnica de Jordan

Teorema 8. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de finita $n\geq 1$ tal que el polinomio característico de se descompone completamente en en producto de factores lineales (este es el caso cuando es algebraicamente cerrado). Entonces, es diagonalizable en bloques de Jordan.

Demostración. Sea

la factorización completa en el cuerpo del polinomio característico de , donde son elementos diferentes en , $1\leq d_{i}\leq n$ , $1\leq i\leq k$ , $1\leq k\leq n.$ Según el Teorema de Hamilton-Cayley el polinomio mínimo de tiene la siguiente descomposición:

donde Por el Teorema de Descomposición Irreducible se tiene para la siguiente descomposición:

donde Consideremos las transformaciones lineales inducidas $T_{i}=T|_{W_{i}}$ ; recuérdese que el polinomio mínimo de $T_{i}$ es $(x-a_{i})^{r_{i}}$ . Para cada $1\leq i\leq k$ considérese la transformación

Nótese que $N_{i}$ es nilpotente de índice $r_{i}$ y el polinomio mínimo de $N_{i}$ es $x^{r_{i}}$ . Por el Teorema de Hamilton-Cayley, $\dim (W_{i})=d_{i}$ , para cada $1\leq i\leq k$ . Podemos ahora aplicar la Proposición 13 y encontrar una base $X_{i}$ en $W_{i}$ para la cual se tiene la siguiente :

MATH

donde $M_{ij}$ es un bloque elemental de Jordan de tamaño $s_{ij}$ correspondiente al valor y de tal forma que

La reunión es una base de para la cual se tiene la siguiente representación de

MATH

Pero , con lo cual $m_{X_{i}}(T_{i})$ es un bloque de Jordan correspondiente al valor $a_{i}$ de tamaño $d_{i}$ y dividido en $t_{i}$ bloques elementales de Jordan correspondientes al valor $a_{i}$ con tamaños que satisfacen la condición (1). Esto completa la prueba de la diagonalización de en bloques de Jordan.

Podemos complementar el resultado del teorema mostrando que el número $t_{i}$ de bloques elementales de Jordan correspondientes al valor $a_{i}$ viene dado por

$t_{i}=\dim ($ $E(a_{i})$

En efecto, según la demostración de la Proposición 13,

pero se puede probar facilmente que . $\Box$