SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 1.

Polinomio MÍnimo

Teorema 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ , $p_{T}(x)$ su polinomio característico y $q_{T}(x)$ su polinomio mínimo. Entonces, $q_{T}(x)\,|\,$ $p_{T}(x)$ . También, si es una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ , entonces $q_{A}(x)\,|\,$ $p_{A}(x).$

Demostración. Veamos primero la prueba de la versión matricial del teorema. Sea la matriz con entradas en el anillo conmutativo , según vimos en la Lección 2 del Capítulo 5, podemos considerar determinantes sobre este anillo y definir la matriz $C=Cof(B)^{T}$ (véase la Lección 4 del Capítulo 4); nótese que cada entrada $c_{ij}$ de la matriz es un polinomio en de grado $\leq n-1$ el cual podemos entonces escribir en la forma . La matriz es por lo tanto representable como donde es de orden $n\times n$ con entradas en . De acuerdo a la Regla de Crammer

Sea realizando las operaciones indicadas en la igualdad anterior y comparando coeficientes concluimos que

MATH

Podemos ahora multiplicar estas igualdades a la derecha por $E,A,\ldots,A^{n}$ respectivamente y luego sumar de tal forma que todos los términos del miembro de la izquierda se cancelan por pares y el término de la derecha es precisamente $p_{A}(A)$ , es decir, $p_{A}(A)=0.$ Por la condición que define al polinomio mínimo se tiene que $q_{A}(x)\,|\,$ $p_{A}(x).$

Sea ahora $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ , una base de y $A=m_{X}(T).$ Acabamos de ver que $q_{A}(x)\,|\,$ $p_{A}(x)$ , pero $q_{A}(x)=q_{T}(x)$ y $p_{A}(x)=$ $p_{T}(x),$ de donde $q_{T}(x)\,|\,$ $p_{T}(x)$ . $\Box$