SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 7.

Forma CanÓnica de Jordan

Teorema 7. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Sean $q_{T}(x)$ y $p_{T}(x)$ los polinomio mínimo y polinomio característico de , respectivamente. Entonces, Más exactamente, si

es la descomposición irreducible de $q_{T}(x)$ , , entonces

donde

para cada $1\leq i\leq k.$ En otras palabras, $q_{T}(x)$ y $p_{T}(x)$ tienen los mismos factores irreducibles salvo multiplicidades. Además, si es un cuerpo que contiene al cuerpo , entonces

$a\in F$ es raíz de $q_{T}(x)$ si y sólo si es raíz de $p_{T}(x).$

Demostración. Según el Teorema de Descomposición Cíclica, existen vectores no nulos con polinomios anuladores tales que

, para cada $1\leq i\leq r-1.$ Sea $T_{i}$ la restricción de a $[v_{i}]$ . Sabemos que para cada $q_{v_{i}}(x)$ (véase el Corolario 5); además, , de donde

Sea ahora un divisor irreducible de $q_{T}(x)$ , entonces es también un factor de $p_{T}(x)$ . De otro lado, sea un factor irreducible de , entonces existe un tal que , luego es decir, $r(x)\,|\,q_{T}(x).$