SEDE BOGOTA

Homomorfismo e Isomorfismo

Lección 2.

Teorema de Factorización

Definición 1. Sea un homomorfismo de grupos. Se dice que el homomorfismo se puede factorizar a través del homomorfismo ( o también se dice a través del grupo $G_{3}$ )

si existe un homomorfismo tal que el diagrama anterior conmuta, es decir : $\theta j=\alpha$ .

Teorema 2. Sea un homomorfismo de grupos y sea un subgrupo normal de . Entonces $\alpha$ se puede factorizar de una manera $\text{\U{fa}nica}$ a través de si y sólo si .

Demostración. $\Longrightarrow )$ Sea $\ H\triangleleft G$ tal que $\alpha$ se puede factorizar a través de :

Esto quiere decir que existe un homomorfismo tal que $\ \theta j=\alpha$ . Sea .

$\Leftarrow)$ Supóngase que $H\triangleleft G$ tal que . Definimos

, $\bar{x}=xH$ , $\ x\in G$ .

$\theta$ está bien definida : .

$\theta$ es homomorfismo : .

, para todo .

$\theta$ es única : sea un homomorfismo tal que . $\ \Box$

Corolario 2. 1) $\theta$ es un homomorfismo inyectivo $\Leftrightarrow$ $H=N(\alpha )$ . Además, $\theta$ es sobreyectivo $\Leftrightarrow$ $\alpha$ es sobreyectivo.

2) Cada homomorfismo sobreyectivo ,, ,, $G\prime$ se puede factorizar de manera única a través del grupo factor $G/N(\alpha)$ :

Además en este caso $\theta$ es un isomorfismo ( $N(\alpha )$ denota el núcleo de $\alpha$ ).

Demostración. 1) Supóngase que $\theta$ es un homomorfismo inyectivo y sea $x\in N(\alpha )$ . Entonces ; . Recíprocamente, sea .
Puesto que , entonces siendo $\theta$ sobreyectivo, $\alpha$ lo es ya que es el homomorfismo canónico.