| Lección 3. |
Teorema de Correspondencia
|
Sea
un grupo cualquiera y
un subgrupo normal de
.
Consideremos el grupo factor
y el homomorfismo canónico
.
Sea
un subconjunto de
que contiene
,
.
Según vimos, la imagen mediante de
mediante
es
Denotamos este conjunto por
. Sea ahora
un subgrupo de
que contiene
,
.
Entonces
Además, como
y podemos construir el grupo cociente de
por
,
,
y por tanto, la notación
para
es adecuada. Podemos ahora si demostrar el siguiente teorema.
Teorema 3. (Teorema de correspondencia). Sea
un grupo y sea
un subgrupo normal de
.
Sea
la familia de subgrupos de
que contienen
,
Sea
la
familia de subgrupos de
.
Entonces existe una correspondencia biyectiva entre
y
Además,
.
Por último, si
y
son elementos de
tales que
,
en otras palabras, si
,
entonces
y además
.
Demostración. Nótese en primer lugar que
es realmente un subgrupo de G/H ya que
es un homomorfismo.
es una función inyectiva: supóngase que
.
Sea
para algún
.
En total
.
Análogamente se prueba que
y así
con lo cual
es
.
es una función sobreyectiva: sea
un subgrupo de
,
como hemos visto
es un subgrupo de
.
Veamos en primer lugar que
:
sea
.
Así pues,
es un elemento de
.
Finalmente, notemos que
j
por ser
una función sobre. Esto completa la prueba de que
es una función sobre.
Si
es un subgrupo normal de
que contiene
,
entonces según vimos la imagen de cada subgrupo normal mediante un
homomorfismo es nuevamente un subgrupo normal en la imagen. Por tanto,
.
Sea
la relación de equivalencia inducida en
por el subgrupo
:
.
Denotemos por
![$\left[ x\right] $](graphics/cap4s3__78.png)
la clase de equivalencia correspondiente al elemento
medinte la relación
.
Sea
la relación de equivalencia inducida en
por el subgrupo
:
.
(
,
).
Denotemos por
la clase de equivalencia determinada por el elemento
de
mediante la relación
.
Sean
y
los respectivos conjuntos cocientes. Se quiere probar que
:
Definimos
está bien definida :
.
F es inyectiva:
es obviamente
sobreyectiva.