SEDE BOGOTA

Homomorfismo e Isomorfismo

Lección 4.

Teorema de Isomorfismo

El primer teorema fundamental de isomorfismo combinado con el teorema de correspondencia permite determinar las imágenes homomórficas de $Z_{n}$ , $n\geq2$ .

Teorema 4. (Primer teorema fundamental de isomorfismo). Sea un grupo cualquiera y sean y subgrupos normales de tales que $H\leq K$ . Entonces y se tiene el isomorfismo

Demostración. Podemos aplicar el teorema de factorización y el teorema fundamental de homomorfismo para demostrar este importante teorema: En efecto el homomorfismo canónico se puede factorizar a través del homomorfismo

debido a que $H\subseteq K=N(j)$ :

Denotamos los elementos de mediante $\bar{x}=xH$ y los de por $\tilde{x}=xK$ , entonces $\theta$ está definido por

puesto que es sobreyectivo, entonces $\theta$ también lo es, y según el teorema fundamental de homomorfismo

pero . Así pues, . \

Teorema 5. (Segundo teorema fundamental de isomorfismo). Sea un grupo, $H\leq G$ y $K\triangleleft G$ . Entonces,

Demostración. Notemos primero que : sea ya que $K\triangleleft G$ ; así pues, $HK\subseteq KH$ . Sea ahora $kh\in KH$ ; entonces y en consecuencia . Como $K\triangleleft G$ entonces $K\triangleleft HK$ y tiene sentido el grupo factor . Definimos la función

mediante .

Probemos que es un homomorfismo sobreyectivo con núcleo $N(f)=H\cap K$ : . Sea $x\in HK/K$ . Entonces es de la forma $\ x=hkK=hK=f(h)$ . Esto prueba que es sobre. Sea y el teorema está demostrado. $\Box$

Ejemplo 2. 1) Determinar las imágenes homomórficas de $Z_{n}$ , $n\geq 0$ . Para : $Z_{0}=Z$ , según vimos, en este caso las imágenes homomórficas son de la forma $Z_{n}$ , $n\geq 0$ . Sea : $Z_{1}=0$ , grupo con un solo elemento. Por tanto, las únicas imágenes homomórficas de $Z_{1}$ son los grupos unitarios. Sea $n\geq 2$ : . Las imágenes homomórficas de $Z_{n}$ según el teorema fundamental de homomorfismo son de la forma $Z_{n}/H$ donde es subgrupo normal de $Z_{n}$ . Como $Z_{n}$ es un grupo abeliano entonces todos sus subgrupos son normales. Según el teorema de correspondencia los subgrupos de son de la forma donde es un subgrupo de que contiene al subgrupo . Los subgrupos de son de la forma . Así pues, los subgrupos de son de la forma donde . Nótese que si entonces , $k\in Z$ , . Recíprocamente, si . En conclusión los subgrupos de son de la forma con . Por tanto las imágenes homomórficas de son de la forma . Así pues, las imágenes homomórficas de $Z_{n}$ son los subgrupos $Z_{m}$ con . Por ejemplo, las imágenes homomórficas de $Z_{12}$ son : $Z_{1}=0$ , $Z_{2}$ , $Z_{3}$ , $Z_{4}$ , $Z_{6}$ , $Z_{12}$ .

2) Sea un grupo no unitario y sea $H\triangleleft G$ . Se dice que es un subgrupo normal maximal de si es válida la siguiente implicación en otras palabras, los únicos subgrupos normales de que contienen son y mismo. Sea un grupo no unitario (es decir $G-\{1\}\neq \phi$ ). Se dice que es un grupo simple si los únicos subgrupos normales de son los triviales : $\{1\}$ y . Probemos que $H\triangleleft G$ es maximal si y sólo si es simple: $\Longrightarrow )$ Sea un subgrupo normal de . Entonces segun el teorema de correspondencia existe en un subgrupo normal que contiene . Por ser normal maximal o , es decir o , es decir los únicos subgrupos normales de son los triviales. $\Longleftarrow )$ Sea $K\leq G$ , $K\triangleleft G$ , $K\geq H$ . Entonces $\text{seg\U{fa}n}$ el teorema de correspondencia ; como este último es simple entonces $K/H=\{1\}$ o o o $\ K=G$ con lo cual es maximal normal.

3) Determinemos las imágenes homomóficas del de Klein $V=\{1,a,b,ab\}$ , $a^{2}=1$ , $b^{2}=1$ , . es un grupo de orden 4. Por tanto, sus subgrupos son de órdenes 1,2,4.

Único subgrupo de orden 1 : $H_{1}=\{1\}$

Los subgrupos de orden 2 son necesariamente ciclicos: , ,

Así pues,

Subgrupos de orden 2 : , ,

Único subgrupo de orden 4 : V

De lo anterior obtenemos que todos los subgrupos de son normales. Así entonces las imágenes homomórficas de son : $V/H_{1}\cong V$ , , - grupo unitario -

4) Notemos que es un grupo abeliano de orden 4 al igual que $Z_{4}$ . Sin embargo, no es isomorfo a $Z_{4}$ ya que este último es cíclico. Tenemos pues dos grupos distintos de orden 4. Nos preguntamos si existen otros grupos de orden 4 diferentes (no isomórficos!) a $Z_{4}$ y . La respuesta es no! : como es de orden 4, es necesariamente abeliano. En efecto, probemos que si es un grupo de orden $\leq5$ entonces es abeliano: es un grupo unitario y por ende abeliano

es un grupo cíclico es abeliano

es un grupo cíclico es abeliano.

Volvemos al caso $\left| G\right| =4$ y no es cíclico. Entonces cada elemento de es de orden 1 o 2 (No hay elementos de orden 4 ya que de lo contrario sería cíclico). De esto concluimos que $G=\{1,a,b,ab\}$ , $a^{2}=1$ , $b^{2}=1$ , , es decir, es el de Klein.

5) Determinar la imágenes homomórficas de $D_{4}$ : Recuérdese que . La tabla de $D_{4}$ ayuda a determinar los subgrupos de $D_{4}$ (ver el capítulo 3)

1 es el único subgrupo de orden 1

Los subgrupos de orden 2 son los determinados por las permutaciones de orden 2 :

son los subgrupos de orden 2

Los subgrupos de orden 4 son de dos tipos : unos isomorfos a $Z_{4}$ y otros isomorfos al de Klein, :

Elementos de orden 4 : , $f^{3}$ . Pero .

Subgrupos isomórficos a $V=\{1,a,b,ab\}$ , $a^{2}=1$ , $b^{2}=1$ , .

a puede tomar los valores ; lo mismo ocurre para b. Se presentan entonces combinaciones posibles :

1) $a=f^{2}$ ,

2) $a=f^{2}$ ,

3) $a=f^{2}$ , $b=f^{2}g$

4) $a=f^{2}$ , $b=f^{3}g$

5) , $\longrightarrow$ Descartado ya que $g(fg)\neq(fg)g$

6) , $b=f^{2}g$

7) , $b=f^{3}g$ $\longrightarrow$ Descartado ya que

8) , $b=f^{2}g$ $\longrightarrow$ Descartado ya que

9) , $b=f^{3}g$

10) $a=f^{2}g$ , $b=f^{3}g$ $\longrightarrow$ Descartado ya que

Subgrupos de orden 4 : MATH

Único subgrupo de orden 8 : D $_{4}$

En resumen se obtiene lo siguiente:

De otra parte, y $D_{4}$ son automáticamente subgrupos normales de $D_{4}$ .

Además, $K_{4}$ , $H_{4}$ y son también normales ya que su índice en $D_{4}$ es 2.

no es subgrupo normal de $D_{4}$ ya que

ya que ; ; ; $g^{-1}f^{2}g=f^{2}$ ; ; ; .

Subgrupos normales de $D_{4}$ : , $D_{4}$ , , , $K_{4}$ , $H_{4}$

Las imágenes homomórficas de $D_{4}$ (salvo isomorfismos) son :

$D_{4}/1=D_{4}$ ; ; ; $D_{4}/ D_{4}=Z_{1}$ (grupo unitario).

Para se tiene que o . La primera posibilidad es descartada ya que en no hay elementos de orden 4 : en efecto, en $D_{4}$ todos los elementos salvo , $f^{2}$ , $f^{3}$ son de orden 2. Además, para estos últimos se tiene que . Por tanto, , esta es la otra imagen homomórfica de $D_{4}$ .

6) Determinar las imágenes homomórficas del grupo de los cuaterniones de Hamilton : $Q_{8}$

El grupo $Q_{8}$ es de orden 8 y puede ser definido por las siguientes relaciones:

La tabla para $Q_{8}$ viene dada por

$\circ$			$a^{2}$	$a^{3}$			$a^{2}b$	$a^{3}b$
			$a^{2}$	$a^{3}$			$a^{2}b$	$a^{3}b$
		$a^{2}$	$a^{3}$			$a^{2}b$	$a^{3}b$
$a^{2}$	$a^{2}$	$a^{3}$			$a^{2}b$	$a^{3}b$
$a^{3}$	$a^{3}$			$a^{2}$	$a^{3}b$			$a^{2}b$
		$a^{3}b$	$a^{2}b$		$a^{2}$			$a^{3}$
			$a^{3}b$	$a^{2}b$	$a^{3}$	$a^{2}$
$a^{2}b$	$a^{2}b$			$a^{3}b$		$a^{3}$	$a^{2}$
$a^{3}b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$					$a^{3}$	$a^{2}$

$ba=a^{-1}b=a^{3}b$ ; ; etc...

Subgrupos de $Q_{8}$ : los subgrupos de $Q_{8}$ tienen orden 1, 2, 4, 8 :

Subgrupo de orden 1 : 1

Subgrupo de orden 8 : $Q_{8}$

Subgrupos de orden 2 : son cíclicos y están generados por los elementos de $Q_{8}$ de orden 2 :

es el único subgrupo de orden 2

Subgrupos de orden 4 :

cíclicos : ; ,

No cíclicos : son de la forma $V=\{1,x,y,xy\}$ , donde $x^{2}=y^{2}=1$ , . Pero en $Q_{8}$ sólo hay un elemento de orden 2. Por tanto, $Q_{8}$ no tiene subgrupos de orden 4 no cíclicos.

Subgrupos normales :

Los subgrupos normales y $Q_{8}$ son normales. Los subgrupos de orden 4 , son también normales por ser de índice 2.

En $Q_{8}$ todos sus subgrupos son normales.

Imágenes homomórficas :

$Q_{8}/1\cong Q_{8}$ ; ; ; ya que en $Q_{8}/<a^2>$ no hay elementos de orden 4 :

, .

, ,

; ;

Matricialmente $Q_{8}$ se puede interpretar como

MATH , MATH ,

$i\in C,i^{2}=-1$ ,

Nótese que $Q_{8}$ y $D_{4}$ no son isomorfos, ya que en $Q_{8}$ hay 6 elementos diferentes de orden 4 : $a,a^{3},b,a^{2}b,$ $ab,a^{3}b$ , en cambio en $D_{4}$ sólo hay 2 : $f,f^{3}$ .

Centro de $Q_{8}$ : $\ a\notin Z(Q_{8})$ ya que

ab $\notin Z(Q_{8})$ ya que . Según lo anterior $Z(Q_{8})\neq Q_{8}$ . Nótese que,