| Lección 4. |
Sistemas de Generadores
|
Ya hemos visto que el subconjunto de todos los ciclos como también el
conjunto de todas las transposiciones constituyen sistemas de generadores para
.
Queremos en esta lección mostrar otros sistemas más reducidos de generadores.
Proposición 3. 1)
2)
Demostración. Es suficiente demostrar 1) ya que
Sea
una permutación de
.
Entonces
es producto de ciclos disyuntos; basta pues probar que cada ciclo está en
el generado por
y
.
Sea
un
-ciclo
de
.
Entonces
Nótese que cada transposición
se puede escribir como
Probemos entonces que cada transposición de la forma
Pero nótese que
por tanto
En general
,
con
,
se puede expresar como
Suponiendo inductivamente que
está en el subgrupo generado por
y
,
siendo
,
entonces resta probar que
está en el mencionado subgrupo.
Según la hipotesis inductiva
están en
.
Esto completa la demostración de la proposición.\
Proposición 4. Para
,
coincide con con el subgrupo generado por los
-ciclos.
Demostración. Sea
una permutación par. Podemos agrupar las transposiciones de
de dos en dos y probar que cada pareja así constituida es producto de
-ciclos.
Sean pues
y
dos transposiciones cualesquiera. Consideremos dos casos posibles
1)
ya que
.
2)
Si
entonces
=
hemos utilizado el hecho de que
.
Si
pero
entonces
Si
pero
entonces se obtiene un 3-ciclo como en el caso anterior.\
Proposición 5 (Teorema de Jordan). Sea
una permutación cuaquiera de
.
Entonces para cada ciclo
se
tiene que
Demostración. Puesto que cada permutación es
producto de transposiciones es entonces suficiente suponer que
es una pernutación
.
Consideremos dos casos posibles
1)
ya que
para
2)
se presentan entonces dos situaciones:
a)
sea
Entonces
b)
Sea
Entonces
Por último, si por ejemplo
y entonces
