Estructuras Algebraicas
Profesor: Oswaldo Lezama
Grupos de Permutaciones


 Lección 6.  
   Subgrupos Normales del Grupo $D_{n}$, $n\geq3$

Sea $N\triangleleft D_n$. Consideremos los siguientes casos posibles:

1) $n$ es impar y $N$ no contiene reflexiones: en este caso $N\leq <f>$ y existe entonces un divisor positivo $k$ de $n$ tal que $N=<f^k>$. Veamos que cada subgrupo de este tipo es efectivamente normal en $D_n$:

MATH

2) $n$ es impar y en $N$ hay al menos una reflexión: sea $f^kg$ en $N$, donde $k$ es fijo y cumple $0\leq k\leq n-1$. Sea $0\leq r\leq n-1$, entonces MATH, luego $f^{k-2r}g\in N$. Tomando $r=k$ se tiene que $f^{-k}g\in N$ y entonces $f^{-2k}\in N$. Tomemos ahora $r=k+1$, entonces MATH y entonces MATH. De aquí resulta entonces que $f^2\in N$. Como $n$ es impar, MATH, es decir, $f\in N$. Finalmente, $f^{-k}\in N$ y entonces $g\in N$. Esto garantiza que $N=D_n$.

3) $n$ es par y $N$ no contiene reflexiones: razonando como en el caso impar se obtiene que existe entonces un divisor positivo $k$ de $n$ tal que $N=<f^k>$.

4) $n$ es par y en $N$ hay al menos una reflexión: sea $n=2t$ y sea $f^kg$ en $N$, donde $k$ es fijo y cumple $0\leq k\leq n-1$. Al igual que en el caso impar podemos concluir que $f^2\in N$. Consideremos dos casos posibles:

a) $g\in N$: entonces el siguiente conjunto de $n$ elementos distintos está incluido en $N$: MATH. Si $N$ posee al menos un elemento adicional, entonces $|N|\geq n+1$ y esto implica que $|N|=2n$. En efecto, $|N|$ divide a $2n$ y entonces $2n=|N|a$; si $a\geq 2$ entonces $|N|a\geq 2|N|$, luego $2n\geq 2n+2$ , lo cual es falso. Así pues, si $N$ no posee al menos un elemento adicional, entonces $N$ es exactamente el subgrupo MATH. En caso contrario, $N$ coincide con $D_n$.

b) $g\notin N$: veamos que entonces necesariamente $fg\in N$. En efecto, $k$ debe ser impar, ya que de lo contrario $k=2u$ y entonces MATH, con lo cual $f^{-k}f^kg=g\in N$, lo cual es falso. Así pues, $k=2w+1$ y esto implica que MATH.

Nótese que entonces $N$ contiene al conjunto MATH y también al conjunto MATH, la reunión de los cuales tiene $n$ elementos. Como se vió anteriormente, si $N$ posee al menos un elemento adicional, entonces $N=D_n$, en caso contrario $N$ es exactamente la reunión de estos dos conjuntos.

En conclusión, los subgrupos normales de $D_n$ se caracterizan de la siguiente manera:

MATH

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