SEDE BOGOTA

Productos y Sumas Directas

Lección 2.

Producto Cartesiano: Caso Infinito

Sea $\{G_{i}\}_{i\in I}$ una familia cualquiera de grupos. Sea el producto cartesiano de los conjuntos de la familia dada, es decir,

Definimos en el producto de manera análoga a como se hizo en el caso finito. Escribiendo $\ x(i)=:x_{i}$ y como entonces

Nótese que este producto da a una estructura de grupo, cuyo elemento neutro es $1=(e_{i}),$ donde $\ e_{i}=1\in G_{i}$ para cada $i\in I.$

El inverso de es entonces

Cuando entonces el producto coincide logicamente con la definición de producto cartesiano dada en la lección anterior.

Las proyecciones canónicas se definen por:

$\ \longrightarrow$ $\ G_{j},$

El producto cartesiano junto con sus proyecciones están caracterizadas por la siguiente propiedad universal:

Teorema 1. Sea $\{G_{i}\}_{i\in I}$ una familia de grupos de naturaleza arbitraria, sea su producto cartesiano y sean $\longrightarrow$ $G_{j}\}_{j\in I}$ las proyecciones canónicas. Entonces

1) Para cada grupo con homomorfismos $\{P_{j}:G$ $\longrightarrow$ $G_{j}\}_{j\in I}$ existe un único homomorfismo $\alpha$ de en tal que para cada $j\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

2) Cualquier otro grupo con homomorfismos que tenga la propiedad 1) es isomorfo al producto cartesiano.

Demostración. 1) Por la forma como fue definido $\ \alpha$ y la manera como se operan los elementos del producto cartesiano se ve claramente que $\alpha$ es un homomorfismo de grupos que hace conmutativo el diagrama para cada $j\in I.$