| Lección 3. |
Suma Directa Externa
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Sea
una familia de grupos y sea
su grupo producto. Se denomina soporte de
al subconjunto
de
de elementos
tales que
.
Definimos el conjunto
.
es un subgrupo del producto y se denomina suma directa
externa de la familia dada. En efecto,
con lo cual la suma directa externa no es vacía. Sean
con soportes
Entonces,
para cada
Esto indica que sólo para los elementos de un cierto subconjunto finito
se
tiene que
Por lo tanto, si
es el producto de
y
entonces
Es claro que si
entonces
Asociadas a la suma directa externa de una familia de grupos están las siguientes inyecciones canónicas:
donde
Evidentemente estas funciones son homomorfismos inyectivos.
Al igual que el producto, la suma directa externa con sus inyecciones canónicas está caracterizada por una propiedad universal.
Teorema 2.
una familia de grupos de naturaleza arbitraria, sea
su suma directa externa y sean
sus inyecciones canónicas. Entonces:
1) Para cada grupo
con homomorfismos
existe un único homomorfismo
tal que para cada
el siguiente diagrama es conmutativo
2) Cualquier otro grupo
con homomorfismos
que tenga la propiedad 1) es isomorfo a la suma directa externa.
Demostración. 1) Definimos
por
es un homomorfismo: si
o
entonces evidentemente
Supóngase pues que
y
Sea
Si
entonces
y asi
para cada
con lo cual
Sea entonces
Se tiene que
ya que
Probemos ahora la unicidad de
sea
otro homomorfismo de
en
tal que
para cada
Sea
un elemento cualquiera de
Si
entonces necesariamente
.
Considérese pues que
Entonces
ya que
2) Por las propiedades de
y
se tiene que para cada
los siguientes diagramas conmutan:
De lo anterior se desprende que
Como en el caso del producto cartesiano, de la unicidad se desprende que
es decir,
y
son grupos
isomorfos.
Observación 2. Nótese que cuando
es un conjunto finito, entonces el producto cartesiano
y la suma directa externa
coinciden.