| Lección 4. |
Suma Directa Interna
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Sea
un grupo y sean
subgrupos de
Se ha visto que el conjunto
es un subgrupo de
si y sólo si
Es posible que para dos subgrupos
y
de
el producto
coincida con
En efecto....
La suma directa interna de subgrupos de un grupo puede ser definida para el caso infinito. Nosotros consideramos sólo el caso de una colección finita de subgrupos.
Proposición 4. Sean
subgrupos normales de
Entonces
Además,
...
y para cada
,
...
...
Demostración. Inducción sobre
Evidentemente
Sea
donde
Se desean ahora "reordenar" los elementos
de tal manera que aparezcan a la izquierda sólo elementos de
y a la derecha sólo elementos de
Sea
el menor índice
tal que
y
Si
entonces
Sea pues
Entonces
Como
entonces
Si
están todos en
entonces tendremos que
con
y
En caso contrario repetimos lo anterior máximo hasta
.
De esto obtenemos que
Supóngase que
Nótese que
donde
Nótese que
En efecto,
De acuerdo al paso
y a la hipótesis de inducción,
La normalidad se acaba de probar, la última afirmación de la
proposición es evidente ya que
Teorema 3. Sea
un grupo y
subgrupos normales de
tales que
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
a) Para cada
b) Cada elemento
de
tiene una representación única en la forma:
Demostración. a)
b) Sea
Por hipótesis
tiene una representación en la forma
con
Sean
tales que
Procediendo de manera análoga encontramos que
para cada
b)
a) Sea
fijo. Supóngase que
existen
tales que
El elemento
se puede también representar como:
Definición 2. Se dice
que el grupo
es suma directa interna de los subgrupos normales
si:
1)
2) Para
y
se cumple alguna de las condiciones del teorema anterior.
Dicha relación entre
y los subgrupos
se denota por
Proposición 5. Sea
una colección finita de grupos, y sea
su suma directa externa (=producto cartesiano). Sea
la imagen de
mediante la inyección canonica
Entonces,
es suma directa interna de los subgrupos
Además
Demostración. Claramente
para cada
Además cada elemento
de
tiene la representación única
Por ser
inyectivo se tiene que
Ejemplo 2. 1) Sea
el grupo aditivo de las matrices cuadradas reales de orden 2. Sean
=
para
y
=
=
=
ya que por ser
abeliano todos sus subgrupos son normales y
además cada matriz
de
tiene la representación única
2) Sea
el grupo aditivo de los números complejos, y sean
y
los subgrupos de números reales e imaginarios respectivamente. Entonces
3) Sea
el grupo grupo
4
de Klein.
es suma directa de los subgrupos
y
Ambos son normales en
además
4) Cada grupo
se puede descomponer trivialmente en suma directa interna:
Hay grupos para los cuales esta es la única descomposición posible.
Consideremos el grupo dihédrico de grado 4,
Los subgrupos normales de
son
Siendo
suma directa de dos de sus subgrupos normales entonces se presentan las
siguientes posibilidades:
Sólo la primera posibilidad tiene lugar ya que
5) Nótese que si un grupo
no se puede descomponer en suma directa de dos subgrupos no triviales entonces
no se puede descomponer en suma directa de 3 o más subgrupos no
triviales.
6) Sea
y sea
Entonces
sea
y sea
Entonces
El resultado anterior podemos generalizarlo: sea
y sea
Sea
Entonces
