SEDE BOGOTA

Teoremas De Sylow

Lección 2.

P-Grupos - Ejemplos

1. Sea un grupo abeliano y sea el conjunto de elementos de de período finito. $P\neq \phi$ ya que $1\in P$ ; sean $x,y\in P$ , entonces existen $n,m\in Z^{+}$ tales que $x^{n}=1,$ $y^{m}=1.$ Sea $\ \ k=m.c.m$ si $\ x\in P$ entonces claramente $\ \ P\leq G.$

2. con $n\geq1$ es un -grupo finito, $C_{p^{\infty}}$ es un -grupo infinito.

3. Ejemplos de -subgrupos en un grupo no abeliano: sea $GL(n,\QTR{bf}{R})$ el grupo multiplicativo formado por las matrices reales invertibles. Podemos definir conjuntos de matrices sobre otros grupos que tienen al igual que $\QTR{bf}{R}$ también un producto.

Sea se definen en dos operaciones :

Adición $\ A=($ $a_{ij}$ $\ B=($ tal que

Multiplicación $c_{ij}\$ donde $\ a_{ik}$ $\cdot$ $b_{kj}\ .$

Se puede comprobar facilmente que donde MATH es un grupo abeliano, y que con MATH es un semigrupo con identidad.

Tomemos en particular primo y sea un grupo multiplicativo del semigrupo . Destacamos en el subconjunto definido por :

MATH

$\ \$

: ya que

MATH

por último, el producto de dos matrices de es nuevamente una matriz de este conjunto.

Nótese que con lo cual es un -subgrupo de $GL(3,Z_{p})$ , el cual no es abeliano:

$\ \ \ \ \$

MATH

4. Ya tenemos algunos ejemplos de grupos primarios

5. Subgrupos de Sylow de $\QTR{bf}{Z}_{72}:$

-subgrupos: $\QTR{bf}{Z}_{4},$ $\QTR{bf}{Z}_{8};$ 2-subgrupo de Sylow : $\QTR{bf}{Z}_{8}.$

-subgrupos: $\QTR{bf}{Z}_{9};$ -subgrupo de Sylow : $\QTR{bf}{Z}_{9.}$

Proposición 1. Sea un grupo de orden $\ p^{n}$ , siendo primo y $n\geq 1.$ Entonces, $\ Z$ $(G)\not=1$

Demostración. Sea un grupo finito cualquiera y sean las clases de equivalencia determinadas por la acción de conjugación :

MATH

Se tienen clases de un solo elemento ( por ejemplo $1^{G}$ ). Podemos reordenar los índices y suponer que las primeras clases constan de un sólo elemento. Se afirma que =

En efecto, si $x\in$ $\Rightarrow$ $gxg^{-1}=x$ para cada $g\in G$ $\ \Rightarrow$ El recíproco es evidente.

La ecuación numérica de clases toma la forma

Si $\ q=r$ entonces es abeliano y así $\ Z(G)=G\not =1.$ Sea pues Nótese que con $1\leq n_{i}\leq n,$ $q+1\leq i\leq r$ luego $Z(G)\not =1.$ \

Corolario 1. Todo grupo de orden $p^{2}$ es abeliano.

Demostración. El es de orden $1,p,p^{2}.$ Según la proposición anterior $Z(G)\not=1.$ Supongamos que

Entonces, , $\ a\in G.$ Lógicamente $a\notin Z(G),$ además, ya que , lo cual es contradictorio.

es abeliano. \

Proposición 2. Sea un grupo y $P,Q\leq G$ tales que :

1) es -subgrupo de G.

2) y son conjugados, es decir, existe $x\in G$ tal que $\ \ Q=xPx^{-1}.$

3) normaliza , es decir, para cada $p\in P,$ $pQp^{-1}=Q$ .

Entonces es un -subgrupo de G.

Demostración. $PQ\leq G:$ sea $\in PQ$ $\Rightarrow$ $\ \ pqp^{-1}\in Q$ .

Análogamente, $QP\subseteq PQ$ y así .

$Q\triangleleft PQ$ : sea $\ \ q\in Q,$ $pq_{0}\in PQ$

Por el teorema fundamental de isomorfismo

Nótese que $P/P\cap Q$ es un -grupo ( más generalmente, si es un -grupo y $N\triangleleft G$ entonces es un -grupo : $\ \alpha\geq0;$ ).

es un -grupo ya que los elementos de tienen el mismo orden que los elementos de .

es un -grupo : más generalmente, si es un -grupo y $\ N$ es un -subgrupo de , entonces es un p-grupo : con $\ \ \beta\geq0$ esto completa la prueba de la afirmación. \

Proposición 3. Sea un grupo y un -subgrupo de . Entonces, $xHx^{-1}$ es un -subgrupo de para cada $x\in G.$

Demostración. Fue probada en la demostración anterior.▫