| Lección 3. |
Preliminares
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El siguiente ejemplo ilustra que el recíproco del Teorema de Lagrange no es en general válido.
Ejemplo 1. En
no hay subgrupos de orden 30, aunque
Si existiera
tal que
Pero probaremos que para cada
es simple.
Proposición 4. Para cada
es simple.
Demostración. Sea
y
Sea
.
Puesto que cada permutación es producto de ciclos disyuntos entonces
tiene alguna de las siguientes formas :
a) En la descomposición de
hay al menos un ciclo de longitud
b) Si en
todos los ciclos son de longitud
entonces se presentan dos posibilidades :
b1)
es exactamente un ciclo de longitud 3 ,
b2) En
hay un ciclo de longitud 3 y otros ciclos de longitud
,
c) En
todas los ciclos son de longitud
es decir,
es producto de transposiciones ( al menos 2 ya que
)
(Si para cada
no se presenta ninguna de estas 4 formas entonces
).
Demostraremos que la existencia en
de un elemento
implica la existencia en
de al menos un ciclo de longitud 3. Estudiaremos las 4 formas posibles.
a)
sea
Puesto que
y
entonces
es decir,
b.1) No hay nada que probar.
b.2)
Sea
.
Según
,
esto implica que
contiene un ciclo de longitud 3.
c)
.
Puesto que
entonces
de aquí obtenemos que :
Hagamos ahora el producto de las permutaciones obtenidas
.
Queremos mostrar ahora que la contenencia en
de un ciclo de longitud
implica la inclusión en
de todos los
-ciclos,
con lo cual
Sean pues
un
ciclo de H . Sea
un 3-ciclo cualquiera de
Puesto que
entonces
es
-transitivo;
existe entonces
tal que
,
Entonces
.
\
Antes de probar los tres teoremas de Sylow consideremos algunos hechos elementales de la teoría de números.
Proposición 5. Sea
un conjunto de
elementos. Entonces el número de subconjuntos diferentes de
elementos de
,
es :
Demostración. Por inducción sobre n .
:
Valores de
:
Supongamos que la afirmación es cierta para conjuntos de
elementos:
Agregamos a
un nuevo elemento
y vemos cuántos subconjuntos de
elementos,
, tiene
Podemos considerar que la colección de subconjuntos de
de
elementos está conformada por aquellos subconjuntos donde
no aparece y aquellos que contienen a
Del primer tipo de subconjuntos tenemos de acuerdo a la hipótesis
inductiva
.
Los subconjuntos del segundo tipo podemos obtenerlos de la siguiente manera.
En cada uno de los
subconjuntos de
elementos donde no aparece
podemos suprimir un elemento y en su lugar colocar
Puesto que cada conjunto tiene
elementos podemos hacer con cada uno
sustituciones; en total obtenemos
conjuntos donde aparece
Sin embargo, en este proceso cada conjunto aparece
veces repetido ( en efecto consideremos el conjunto
de 
elementos
,
quitamos por ejemplo
y obtenemos
El número de conjuntos iguales en este es
obteniendo al cambiar
por los
elementos restantes de
).
Por lo tanto el número de conjuntos diferentes de
elementos donde figura
es
Como conclusión obtenemos que el número de conjuntos de
elementos de
es :
Hemos
probado que el n\umero de subconjuntos de
elementos
con
de
un conjunto de
elementos
es
El caso
es
evidentemente pues
\
La siguiente afirmaci\on es clave en la demostraci\on de los teoremas de Sylow.
Proposición 6. Sea
primo,
Entonces,
la mayor potencia de
que
divide a
es
Demostración. Notese en primer lugar que
Consideremos el racional
con
Si
es una potencia de
que divide a
,
entonces
es decir,
es también una potencia que divide a
Sea ahora
una potencia de
que divide a
entonces
de lo contrario,
lo cual es falso.
Por lo tanto
En conclusión, como
entonces el racional
es libre de potencias de
Resta ver que
.
Sea
y
,
donde esta última fracción ya está libre de factores
en su numerador y denominador. Entonces
,
luego
,
es decir,
.
Nótese que
no divide a
,
ya que de lo contario
y entonces
,
lo cual ya probamos no se tiene.\