Estructuras Algebraicas
Profesor: Oswaldo Lezama
Teoremas De Sylow


 Lección 4.  
   Teoremas

Teoremas de Sylow. Sea $G$ un grupo finito y sea $p$ un número primo que divide al orden de $G$. Entonces:

1) Existencia: para cada potencia $\ p^{\alpha}$ que divide al orden de $G$, existe en $G$ un subgrupo de orden $p^{\alpha}$. Además, si $p^{\alpha+1}$divide también a MATH entonces cada subgrupo de orden $p^{\alpha}$ está incluido en un subgrupo de orden $p^{\alpha+1}$. En particular, los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ existen y son los subgrupos de $G$ de orden $p^{r}$, donde $\ p^{r}$es la máxima potencia de $p$ que divide al orden de $G$.

2) Conjugación: todos los $p$-subgrupos de Sylow son conjugados en $G$.

3) Cantidad: la cantidad de los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ es congruente con $1$ modulo $p$ y divide al orden del grupo $G$.

Demostración.

1) Existencia: sea $n$ el orden del grupo $G$ y sea $p^{r}$ la máxima potencia de $p$ que divide a $n$. Sea pues $\ n=p^{r}m,$ donde MATH

Consideremos el conjunto $M$ de todos los subconjuntos de $G$ que contiene $p^{\alpha}$ elementos. Puesto que $G$ actua sobre si mismo de la manera trivial

MATH

MATH

Se induce entonces una acción de $G$ sobre $M.$

Demostraremos en primer lugar que la acción de $G$ sobre $M$ determina una orbita de $s$ elementos MATH tal que MATH no divide a $s.$ Sabemos que MATH si la longitud de cada una de las órbitas determinadas en $M$ por el grupo $G$ es divisible por MATH, entonces MATH divide a $card(M)$ debido a la ecuación de clases, pero esto no es posible según la Proposición 6.

Sea $G_1$ el sugrupo estacionario de $M_1$. Qeremos demostrar que $G_{1\text{ }}$ es de orden MATH

Sea MATH Entonces de acuerdo al teorema de Lagrange MATH es decir, , $st=p^{r}m$. Sea $p^{w}$ la mayor potencia de $p$ que divide a $\ s$ y $\ p^{v}$ la mayor potencia de $p$ que divide a $t,$ es decir, $s=p^wa,t=p^vb$. Entonces la mayor potencia de $p$ que divide a $st$ , es decir a $n$ , es $p^{w+v}.$ Por lo tanto $w+v=r.$ Pero como MATH no divide a $s$, entonces $w<r-\alpha+1$, es decir, $w\leq r-\alpha$, de aquí obtenemos que $v=r-w\geq\alpha$ y por lo tanto $p^{\alpha}$ $|$ $p^{v}|$ $t$. Así pues, $p^{\alpha}|$ $t$ y con esto $t\geq p^{\alpha}$.

Sea ahora $\ x\in M_{1}$. Nótese que MATH. En efecto, sea $g\in G_{1.}$ Entonces $gx\in gM_{1}=M_{1}$, es decir $gx\in M_{1}$ y así obtenemos la inclusión mencionada. De esta inclusión obtenemos que MATH, es decir, $\ t\leq p^{\alpha}$. De $\ t\geq p^{\alpha}$ y $\ t\leq p^{\alpha}$ obtenemos que MATH.

Hemos probado pues que el grupo $G$ contiene necesariamente un subgrupo de orden $p^{\alpha}$; el subgrupo $G_{1}$.

Pasamos ahora a demostrar la segunda afirmación del primer teorema de Sylow.

Supóngase que MATH divide a $n=|G|$ y sea $P$ un subgrupo de $G$ de orden $p^{\alpha}$. Consideremos la acción de conjugación sobre el conjunto $S$ de subgrupos del $G$. Sea $C$ la órbita del subgrupo $P$, es decir.

MATH

Recuerdese que $|C|=|G:N_{G}(P)|$ , donde $N_{G}(P)$ es el normalizador de $P$ en $G$ (=grupo estacionario de $P$ mediante la acción de conjugación). Nótese que:

MATH

Consideremos ahora 2 posibilidades: si $p$ no divide a $|C|$ entonces como MATH entonces necesariamente MATH. Nótese que entonces $p$ divide al orden del grupo cociente $N_{G}(P)/ P$. Según lo demostrado en la primera parte, $N_{G}(P)/P$ debe contener un subgrupo de orden $p$. Según el teorema de correspondencia dicho subgrupo es de la forma $P^{\ast}/P$ donde $P^{\ast}\leq G$. Por lo tanto MATH y entonces $P^{\ast}$ es el subgrupo buscado.

Analicemos ahora la segunda posibilidad: MATH. Consideremos nuevamente el conjunto $C$ de los subgrupos de $G$ conjugados con $P$. El subgrupo $P$ actua sobre $C$ mediante la conjugación, es decir, si $\ gPg^{-1}\in C$ con $g\in G$, entonces MATH para cada $x\in P$. Como es sabido la longitud de las órbitas determinadas mediante esta acción dividen al orden del grupo $P$,es decir, dichas longitudes son de la forma $p^{\alpha_{i}}$, con MATH.

Nótese que uno de los elementos de $C$ es el subgrupo $P$, por lo tanto, la órbita por él determinada consta de un sólo elemento; el mismo subgrupo $P$. Sean MATH las órbitas que determina la acción de $P$ sobre $C$. Entonces según la ecuación de clases

MATH.

Puesto que estamos suponiendo que $p\,|\,|C|$ y las longitudes de las orbitas $O_{2},...,O_{s}$ son potencias de $p$ entonces debe existir al menos otra $\text{\U{f3}rbita}$ con un sólo elemento $Q$ ; de lo contrario $p|1$, lo cual es falso. $Q$ es por lo tanto un subgrupo conjugado con $P$ tal que $xQx^{-1}=Q$ para cada $x\in p$; es decir, $P$ normaliza $Q$.

Tenemos pues en $G$, $P$ y $Q$ subgrupos conjugados tales que $P$ normaliza $Q$ y $P$ es un $p$-subgrupo de $G$. Según la Proposición 2 $PQ$ es un $p$-subgrupo de $G$. Como $Q$ es conjugado con $P$ existe $g\in G$ tal que $P=gQg^{-1}$. En la prueba de la Proposición 2 se vió que $Q$ es subgrupo normal de $PQ$, nótese que en realidad la contenencia es propia: si MATH, pero MATH, lo cual es falso.

$PQ/Q$ es un $p$-subgrupo no trivial MATH en $PQ/Q$ hay un subgrupo $\ Q^{\ast}/Q$ de orden MATH donde MATH y MATH.

Para terminar la demostración del primer teorema de Sylow mostremos que los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ son los subgrupos de $G$ de orden $p^{r}$, donde $p^{r}$ es la máxima potencia de $p$ que divide al orden de $G$.

Demostramos en primer lugar la siguiente afirmación consecuencia directa del primer teorema de Sylow.

Afirmación. Sea $G$ un grupo finito y sea $H\leq G$, un $p$-subgrupo de $G$. Entonces MATH, $n\geq0$.

En efecto, Sea MATH, y sea MATH donde $q$ es un primo diferente de $p$. Entonces, $H$ contiene un subgrupo de orden $q$, el cual es cíclico, es decir, $H$ contiene un elemento de orden $\ q$. Pero esto contradice que $H$ $p$-grupo. Por lo tanto, el único primo que divide el orden de $H$ es $p$, por lo tanto MATH, $n\geq 0$.

Regresamos sobre los $p$-subgrupos de Sylow de $G$. Sea $H$ un $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Entonces, según la afirmación anterior MATH, $0\leq\alpha\leq r$. Si $\alpha\neq r$ entonces $H$ está incluido en un grupo de orden $p^{\alpha+1}$. Pero esto contradice la condición de ser $H$ maximal. Por lo tanto, MATH.

Sea ahora $K$ un $p$-subgrupo de $G$ de orden $p^{r}$ donde $p^{r}$ es la máxima potencia de $p$ que divide al orden de $G$. Sea $H$ un $p$-subgrupo de $G$ que contiene a $K$; como vimos, MATH, pero como $p^{r}$ es la máxima potencia de $p$ que divide a $\left| G\right| $ entonces $\alpha=r$ y así $H=K$, es decir, $K$ es maximal y por lo tanto $K$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Hemos concluido la demostracion del primer teorema de Sylow.

2) Conjugación: sean nuevamente $G$ a un grupo de orden $n$ y sea $p^{r}$ la máxima potencia de $p$ que divide a $n$, $\ n=p^{r}m$, donde $(p,m)=1$. Sea $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de $G$, es decir, MATH. Consideremos nuevamente la acción de conjugación sobre el conjunto $S$ de los subgrupos de $G$. Sea $C$ la órbita del subgrupo $P$, es decir MATH, en otras palabras, $C$ es el conjunto de todos los subgrupos de $G$ conjugados con $P$.

Sea $Q$ otro $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Se desea probar que $Q\in C$. El subgrupo $Q$ actua nuevamente con la acción de conjugación sobre $C$, dividiendo a $C$ en órbitas. La longitud de cada órbita divide al orden de $Q$, MATH. Por lo tanto la longitud de cada órbita es de la forma $p^{\alpha}$ con $0\leq\alpha\leq r$. Nótese que MATH o también MATH, como $P\leq N_{G}(P)$ entonces MATH. Puesto que $p^{r}$ es la máxima potencia de $p$ que divide a $n=\left| G\right| $ entonces $p$ no divide a $\left| C\right| $. Por lo dicho anteriormente, debe existir al menos una órbita de un sólo elemento $P^{\prime}$. Esto implica que para cada $x\in Q$ se tiene que MATH, es decir, $Q$ normaliza $P^{\prime}$. Además como $P^{\prime}$ es conjugado con $P$, entonces $P^{\prime}$ es un $p$-subgrupo de Sylow. Tenemos pues que $Q/P^{\prime}\cap Q$ es un $p$-grupo. Se tiene el isomorfismo

MATH

Puesto que $P^{\prime}$ es un $p$-grupo y MATH también lo es, entonces $P^{\prime}Q$ es un $p$-subgrupo de $G$. Nótese que MATH; como $P^{\prime}$ y $Q$ son $p$-subgrupos de Sylow, entonces MATH.

3) Cantidad: siendo $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de $G$ entonces todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ están en $P^{G}$, además cada subgrupo $gPg^{-1}$ de $P^{G}$ es un $p$-subgrupo de Sylow. La primera afirmación fue demostrada en 2) y la segunda se desprende de que MATH. Por lo tanto el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$ es igual al cardinal de $P^{G}$.

Puesto que MATH entonces el número de p-subgrupos de Sylow de $G$ divide el orden de $G.$ $\ P$ actua sobre $P^{G}$ mediante la acción de conjugación determinado al menos una órbita de un solo elemento: $\left\{ P\right\} $. Supóngase que $P$ determina otra órbita de un solo elemento $Q$, $Q\neq P$. Entonces se tiene que $P$ y $Q$ con conjugados, $P$ normaliza $Q$, $P$ es un $p$-subgrupo. De aquí obtenemos que $PQ$ es un $p$-subgrupo y además $P$ es subgrupo propio de $PQ$. Esto contradice el hecho de que $P$ es maximal. Por lo tanto $P$ determina sobre $P^{G}$ sólo una órbita unitaria. Puesto que las longitudes de las órbitas dividen a MATH entonces MATH (mod p ). \

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