SEDE BOGOTA

matrices

Lección 5.

Equivalencia y Similaridad

Proposición 10. Sea $A\in M_{mn}(K)$ . si y sólo si es equivalente a una matriz de la forma

MATH

donde es la matriz idéntica de orden , $0\leq r\leq m$ (el caso corresponde a la matriz nula).

Demostración. $\Rightarrow )$ Sea la transformación lineal correspondiente a la matriz en un par de bases de $K^{n}$ y de $K^{m}$ (véase el paso 2 del Teorema 1 aplicado al caso $V=K^{n}$ , $W=K^{m}$ ). Puesto que , entonces la dimensión del núcleo de es (véase el Teorema 1 del Capítulo 2). Sea una base del núcleo de , la cual se completa hasta una base de $K^{n}$ . Se sabe que es una base de la imagen de , la cual se completa hasta una base de $K^{m}$ . Reordenando $X_{0}$ se obtiene la base y es claro que

MATH

donde es la matriz idéntica de orden . El caso corresponde a la transformación nula, y por lo tanto, a la matriz nula. Según el Teorema 3, .

$\Leftarrow)$ Si es equivalente a una matriz de la forma (1), entonces y (1) representan la misma transformación lineal, de donde, coincide con el rango de la matriz de (1), es decir, $rank(A)=r.\Box$